题目来源:http://codeforces.com/problemsets/acmsguru/problem/99999/123

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题意

求斐波那契数列前K项的和(0<K<41)。

分析

对于这个数量级的K,直接计算就可以了。当然,还有一些更快速的算法:

  • 利用矩阵快速幂算法,可以用O(log(K))的复杂度求$F_n$
  • 利用Binet公式:$F_n = \frac{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n}{\sqrt{5}}$,不过考虑到计算精度等问题,可能不是很好
  • 求和事实上也是有公式的:$\sum_{i=1}^{n} F_i = F(n+2) - 1$

公式的推导过程如下[1]

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F(n)      =    F(n+2)   -   F(n+1)
F(n-1) = F(n+1) - F(n)
. . .
. . .
. . .
F(1) = F(3) - F(2)
------------------------------------------
sum = F(n+2) - F(2) .... adding all equations

这样求和的时间复杂度也可以降低到O(log(n))

代码

枚举版本

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#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int k;
cin >> k;
int s = 0;
int f1 = 0, f2 = 1;
for (int i = 0; i < k; i++) {
s += f2;
int tmp = f1;
f1 = f2;
f2 += tmp;
}
cout << s << endl;
return 0;
}

快速幂版本

写这个代码的过程中,我再次深刻体会到了这一点:在非必要的情况下,尽量不要使用C++的指针、析构函数、拷贝构造函数、运算符重载等特性,这是在玩火。(也许用C++开发大型程序对我来说本身就是玩火。)

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#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

struct Matrix {
int n, m;
long long int a[10][10];

Matrix(int x, int y) {
n = x;
m = y;
memset(a, 0, sizeof(a));
}

friend Matrix operator * (const Matrix& m1, const Matrix& m2) {
int nn = m1.n, mm = m2.m;
Matrix m3(nn, mm);
for (int i = 0; i < nn; i++)
for (int j = 0; j < m1.m; j++)
for (int k = 0; k < mm; k++)
m3.a[i][k] += m1.a[i][j] * m2.a[j][k];
return m3;
}

friend ostream& operator << (ostream& out, const Matrix& m1) {
for (int i = 0; i < m1.n; i++) {
for (int j = 0; j < m1.m; j++)
out << m1.a[i][j] << ' ';
out << endl;
}
return out;
}
};

int main() {
int K;
cin >> K;

Matrix power(2, 2), basic(2, 2), f(2, 1);
power.a[0][1] = power.a[1][0] = power.a[1][1] = 1;
basic.a[0][0] = basic.a[1][1] = 1;
f.a[1][0] = 1;

K++;
int i = 1;
while (i <= K) {
if ((i & K) != 0)
basic = basic * power;
i <<= 1;
power = power * power;
}
f = basic * f;
cout << f.a[1][0] - 1 << endl;

return 0;
}

  1. What is the sum of n terms of a Fibonacci series?

题目来源:http://codeforces.com/problemsets/acmsguru/problem/99999/546

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题意

给定一个只包含012三种字符的字符串,长度为n1 <= n <= 200);要求通过替换操作修改字符串,使得0的个数为a1的个数为b0 <= a,b <= 200)。输出最少的替换次数和任意替换后的合法字符串,如无法完成要求,输出-1

分析

这道题还比较简单。

通过替换操作修改字符串实际上相当于可以把字符串完全换掉一遍,所以无法完成要求,只可能是a + b > n的情况。

然后很显然可以贪心。只要给定了ab,事实上替换的方向和数量就都确定了:如果0当前的数量比a多,那么其中必然有一部分0需要被替换掉,而被替换的这些0可以是当前字符串中所有0的任意子集,所以不妨替换最靠前的那些。进行一次操作之后,得到的必然仍是一个最优子问题。

进行实际替换的操作过程大概是一个贪心,不过这道题的确定性显然比一般所说的“贪心”问题更强。比如说,替换次数就可以直接计算出来:changeTimes * 2 = abs(a-count('0')) + abs(b-count('1')) + abs(n-a-b-count('2'))

代码

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

char p[205];

int main() {
int n, a, b;
int actNum[3], expNum[3];
cin >> n >> a >> b;
cin >> p;
memset(actNum, 0, sizeof(actNum));
expNum[0] = a;
expNum[1] = b;
expNum[2] = n - a - b;

if (a < 0 || b < 0 || a + b > n) {
cout << -1 << endl;
return 0;
}

for (int i = 0; i < n; i++)
actNum[p[i] - '0']++;

// int changed = 0;
int changed = (abs(actNum[0]-expNum[0]) + abs(actNum[1]-expNum[1]) + abs(actNum[2]-expNum[2])) / 2;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int x = p[i] - '0';
if (actNum[x] > expNum[x]) {
for (int j = 0; j < 3; j++)
if (j != x && actNum[j] < expNum[j]) {
p[i] = j + '0';
actNum[j]++;
actNum[x]--;
// changed++;
break;
}
}
}

cout << changed << endl << p << endl;
return 0;
}