题目来源:http://codeforces.com/problemsets/acmsguru/problem/99999/123

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题意

求斐波那契数列前K项的和(0<K<41)。

分析

对于这个数量级的K,直接计算就可以了。当然,还有一些更快速的算法:

  • 利用矩阵快速幂算法,可以用O(log(K))的复杂度求$F_n$
  • 利用Binet公式:$F_n = \frac{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n}{\sqrt{5}}$,不过考虑到计算精度等问题,可能不是很好
  • 求和事实上也是有公式的:$\sum_{i=1}^{n} F_i = F(n+2) - 1$

公式的推导过程如下[1]

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F(n)      =    F(n+2)   -   F(n+1)
F(n-1) = F(n+1) - F(n)
. . .
. . .
. . .
F(1) = F(3) - F(2)
------------------------------------------
sum = F(n+2) - F(2) .... adding all equations

这样求和的时间复杂度也可以降低到O(log(n))

代码

枚举版本

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#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int k;
cin >> k;
int s = 0;
int f1 = 0, f2 = 1;
for (int i = 0; i < k; i++) {
s += f2;
int tmp = f1;
f1 = f2;
f2 += tmp;
}
cout << s << endl;
return 0;
}

快速幂版本

写这个代码的过程中,我再次深刻体会到了这一点:在非必要的情况下,尽量不要使用C++的指针、析构函数、拷贝构造函数、运算符重载等特性,这是在玩火。(也许用C++开发大型程序对我来说本身就是玩火。)

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#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

struct Matrix {
int n, m;
long long int a[10][10];

Matrix(int x, int y) {
n = x;
m = y;
memset(a, 0, sizeof(a));
}

friend Matrix operator * (const Matrix& m1, const Matrix& m2) {
int nn = m1.n, mm = m2.m;
Matrix m3(nn, mm);
for (int i = 0; i < nn; i++)
for (int j = 0; j < m1.m; j++)
for (int k = 0; k < mm; k++)
m3.a[i][k] += m1.a[i][j] * m2.a[j][k];
return m3;
}

friend ostream& operator << (ostream& out, const Matrix& m1) {
for (int i = 0; i < m1.n; i++) {
for (int j = 0; j < m1.m; j++)
out << m1.a[i][j] << ' ';
out << endl;
}
return out;
}
};

int main() {
int K;
cin >> K;

Matrix power(2, 2), basic(2, 2), f(2, 1);
power.a[0][1] = power.a[1][0] = power.a[1][1] = 1;
basic.a[0][0] = basic.a[1][1] = 1;
f.a[1][0] = 1;

K++;
int i = 1;
while (i <= K) {
if ((i & K) != 0)
basic = basic * power;
i <<= 1;
power = power * power;
}
f = basic * f;
cout << f.a[1][0] - 1 << endl;

return 0;
}

  1. What is the sum of n terms of a Fibonacci series?


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